C++博客-西风萧瑟@HDU-随笔分类-数学

HDU 1787 GCD Again （欧拉函数）

西风萧瑟 — Wed, 02 Dec 2009 12:34:00 GMT

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1787

/***
count the number of the integers M (01.
即：N - 1 - phi(N)

由于1采用欧拉性质：
    1.若n是质数p的k次幂，φ（n）= （p-1）p^(k-1)
    2.若m，n互质，φ（mn）= φ(m)φ(n)

若 n =p1^a1 * p2^a2 ** pn^an
则   phi(n)    = (p1-1)*p1^(a1-1) * (p2-1)*p2^(a2-1) ** (pn-1)*pn^(an-1)
            = N * (p1-1)*(p2-2)**(pn-1)/(p1*p2**pn)
**/

#include <stdio.h>
#define N 10001
__int64 p[5000];
int hash[10001];
int main()
{
    __int64 i, j, ans, n, m, temp;

    p[0] = 1; //记录素数个数
    p[1] = 2;
    for (i=3; i<N; i+=2)
    {
        if (hash[i])
            continue;
        p[++p[0]] = i;
        for (j=i*i; j<N; j+=i)
            hash[j] = 1;
    } //筛素数


    while (scanf("%I64d", &n), n)
    {
        ans = 1;
        m = n;
        for (i=1; p[i]<=m && i<=p[0]; i++)
            if (m%p[i]==0)
            {
                temp = 1;
                while (m%p[i] == 0)
                {
                    m /= p[i];
                    temp *= p[i];
                }
                temp /= p[i];
                ans*=(p[i]-1)*temp;
            }
        if (m>1)
        {
            ans *= (m-1);
        }    //如果剩下那个数大于1,m为大于10000的质数

        printf("%I64d\n", n-ans-1);
    }
}

西风萧瑟 2009-12-02 20:34 发表评论

hdu2824 The Euler function 欧拉函数

西风萧瑟 — Tue, 01 Dec 2009 11:21:00 GMT

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824

定义：    对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目；
                例如: φ(8) = 4, 因为1，3，5，7均和8互质。
性质：  1.    若p是质数，φ（p）= p-1.
               2.    若n是质数p的k次幂，φ（n）= （p-1）p^(k-1)
                        因为除了p的倍数都与n互质
               3.    欧拉函数是积性函数，若m，n互质，φ（mn）= φ(m)φ(n)
               根据这3条性质我们就可以退出一个整数的欧拉函数的公式，因为一个数总可以一些质数的乘积的形式。
               E(k) = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))
                        = k*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)
                        = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

以下是2种求欧拉函数的算法

1 void init()
2 {
3     __int64 i,j;
4     e[1] = 1;
5     for(i=2;i<=N;i++)
6         if(!e[i])
7         {
8             for(j=i; j<=N; j+=i)
9             {
10                 if (!e[j])
11                     e[j] = j;
12                 e[j] = e[j] / i * (i-1);
13             }
14         }
15 }

利用素数筛选：

void init()
{
    __int64 i, j;

    p[0] = 1; //记录素数个数
    p[1] = 2;
    for (i=3; i<N; i+=2)
    {
        if (hash[i])
            continue;
        p[++p[0]] = i;
        for (j=i*i; j<N; j+=i)
            hash[j] = true;
    } //筛素数

    e[1] = 1;

    for (i=1; i<=p[0]; i++)
        e[p[i]] = p[i] - 1; //初始化素数的phi

    for (i=2; i<N; i++)
    {
        if(!e[i])
        {
            for (j=1; j<=p[0]; j++)
                if (i % p[j]==0)
                {
                    if (i / p[j] % p[j])
                        e[i] = e[i / p[j]] * e[p[j]];
                    else
                        e[i] = e[i / p[j] ]* p[j];
                    break;
                } // 利用上述性质求解
        }
    }
    return ;
}

明显第一种的编程复杂度要低很多
所以，一般情况下（N不是很大），采用第一种即可；
贴在这里供以后复习

西风萧瑟 2009-12-01 19:21 发表评论

hdu3215 The first place of 2^n（对数思想）

西风萧瑟 — Fri, 27 Nov 2009 06:25:00 GMT

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3215
题目大意是计算2^0到2^n中每个数的最左边一位，然后记录1-9每个数字出现的次数并依次打印出来；
考虑到n的范围 [0,10000]，不可能去计算 2^n

hdu 1060 Leftmost Digit http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1060 与此题一样

/**
    先看一个例子：

        31415926   最左面那位数是3，如何得来？

        取对数： lg(3.1415926 * 10^7) = lg(3.1415926) + 7
        也就是说，一个整数取对数以后变为2部分，不妨设小数部分为A (0 <= A < 1)，整数部分为B
        所以，一个整数可以写成 10^A * 10^B
        至于 10^B 是大家熟悉的 10000……
        而 10^A 是什么样子的呢？肯定是小于10的小数    (为什么呢，如果大于10了，B的值则加1)
        那么 A 的整数部分就是我们要求的数
        大致思路就是：对一个数x求对数，取出小数部分A，则10^A的整数部分就是x的最左面的那位数

    进入本题：

        x = 2^n
        lg(x) = n * lg(2)
        A = lg(x) - lg(x)的整数部分
        10^A = ……

    其实这道题卡的事精度问题，整数与小数来回转化肯定有精度损失这里的A要加上1.0e-6
*/

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define eps (1.0e-6)

int f[10010][10];

int main()
{
    int i, j, y;
    double A, x, s=log10(2);

    f[0][1]=1;
    for (i=1; i<=10000; i++) {
        for(j=1; j<10; j++)
            f[i][j] = f[i-1][j];

        x = i * s;
        A = x - (int)x;
        y = (int) (pow(10, A)+eps);

        f[i][y]++;
    }

    while (scanf("%d",&y),y+1) {
        printf("%d", f[y][1]);
        for(i=2; i<10; i++)
            printf(" %d",f[y][i]);
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

西风萧瑟 2009-11-27 14:25 发表评论