邮局位置问题和带权中位数

yx — Sun, 11 Mar 2012 11:36:00 GMT

带权中位数定义如下：

邮局位置问题定义如下：

   上一篇文章输油管道问题里面证明了，当权值Wi都为1的时候，中位数就是最佳的解。但是，现在Wi已经不一定是1了。所以，现在
需要证明在任意Wi的取值情况下，带权中位数能够成为邮局位置的最佳解。假设，所有Wi都是1的倍数，如果是小数的话，可以所有的
Wi都乘以一定的倍数。那么wi*d(p,pi) = Σ(p,pi)(i从1到wi)，这个意思是把距离乘以了wi倍。
   但是，现在可以换一种看法，换成了pi位置有wi个重合的点，且每一个点的权值都是1，那么其和也是wi*d(p,pi)。那么对所有的pi
都这样分解，就把问题重新转换成了输油管道问题了。输油管道问题的最优解就是中位数，那么邮局问题的最优解就是转换之后的
这些点的中位数点。而这个点一定存在于带权中位数那个点分解出的一堆点中。
二维邮局问题的解法是把x和y分开求2次一维邮局问题，然后把解组和起来，得到答案。

   求带权中位数的算法比较简单，直接的做法是，先把n个点按照位置排序，然后按点的位置从小到大遍历，找到满足要求的点即可。
不算排序点位置的预处理，因为很多时候点应该就是按顺序给出的，所以其时间复杂度是O(n)。
   要求：

yx 2012-03-11 19:36 发表评论

输油管道问题 (POJ - 1723)

yx — Fri, 09 Mar 2012 06:27:00 GMT

   先看算导上输油管道问题的描述：

   这个题，虽然说给出了井的x,y坐标，但是要修建的主管道却只是一条横向的，而且其余管道也只是到这条管道的竖向距离。
那么，就转换为确定一条直线 y = m，使得其它个点到这条直线的距离最多。也许不需要多的提示，大家的直觉就会想到应该
选所有y值的中点。但是，这个的证明却不是那么的明显。

证明如下：
设所有的y值系列为y1,y2,...,yn，并且假设这个是按递增排列的。我们要求的是Sum = Σ|yi-m|(1<=i<=n),

1）显然假如选小于y1或者大于yn的y=m都不会比选y1或者yn更好。
2）如果选y1或者yn，那么|y1-m|+|yn-m| = |yn-y1|都是一样的结果，甚至选y1和yn之间的任意一个值。
3）如此继续下去，对于y2和yn，也有2）所描述的性质
4）继续到最后，只需要取最中间一对点之间的值即可，如果n是奇数，那么就是中间的点，如果n是偶数，取任意一个中间
点都可以。

   通过上面证明，我们可以选取第y(n/2 + 1)作为修建主管道的地方。当然这可能是唯一的最优选择，或者无数个最优选择中的一个。
那么现在已经转换为求中位数了，求中位数的办法最简单的是对序列排序然后取中间的即可。算法导论上有一种平均代价O(n)的办法，
思路类似于快速排序，快排的每一次操作都是划分数组，前小后大，如果我们也这一次次去划分数组，刚好轴元素处于我们要求的那个位置
上那么就达到我们的目的了，下面的代码中Select函数就是求一个数组的中位数。

对于POJ 1723题，很显然y的选择是中位数即可，x的选择需要转换一下也变成求中位数了。题目中描述，最后要达到的效果是每个士
兵都占成一横排，而且彼此相邻，也就是y相同，但是x系列是k,k+1,k+2,...,k+n-1。那么如何从原来的x0,x1,x2,...,x(n-1)移动过去了。
可以简单的考虑下，将最左边的士兵移动到k,次左的移动到k+1,...,最右边的移动到k+n-1，所需要的移动之和一定是最小的。那么我们
可以将原来的x0-x(n-1)排序，得到x'0,x'1,...,x'(n-1),要求的Sum = Σ|x'i - (k + i)| = Σ|(x'i - i) - k|,那么要使Sum最小，只需要
求序列X'i - i的中位数即可了。

代码如下：

#include

using std::sort;

using std::swap;

#define MAX (10000 + 10)

int Partion(int* pnA, int nLen)

{

int i, j;

for (i = j = 0; i < nLen - 1; ++i)

{

if (pnA[i] < pnA[nLen - 1])

{

swap(pnA[i], pnA[j++]);

}

swap(pnA[j], pnA[nLen - 1]);

return j;

}

int Select(int* pnA, int nLen, int nIndex)

{

if (nLen > 1)

{

int nP = Partion(pnA, nLen);

if (nP + 1 == nIndex)

{

return pnA[nP];

}

else if (nP + 1 > nIndex)

{

return Select(pnA, nP, nIndex);

}

else

{

return Select(pnA + nP + 1, nLen - nP - 1, nIndex - nP - 1);

}

else

{

return pnA[0];

}

int main()

{

int nX[MAX];

int nY[MAX];

int nN;

int i;

while (scanf("%d", &nN) == 1)

{

for (i = 0; i < nN; ++i)

{

scanf("%d%d", &nX[i], &nY[i]);

}

int nMY = Select(nY, nN, nN / 2 + 1);

sort(nX, nX + nN);

for (i = 0; i < nN; ++i)

{

nX[i] = nX[i] - i;

}

int nMX = Select(nX, nN, nN / 2 + 1);

int nSum = 0;

for (i = 0; i < nN; ++i)

{

nSum += abs(nX[i] - nMX);

nSum += abs(nY[i] - nMY);

}

printf("%d\n", nSum);

}

return 0;

}

yx 2012-03-09 14:27 发表评论

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