Mathematics for Computer Graphics

Greg Turk, August 1997

"What math should I learn in order to study computer graphics?" This is perhaps the most common general question that students ask me about computer graphics. The answer depends on how deeply you wish to go into the field. If you wish to begin to use off-the-shelf graphics programs then the answer is that you probably do not need to know very much math at all. If you wish to take an introductory course in computer graphics, then you should read the first two sections below for my recommendations (algebra, trigonometry and linear algebra). If you want some day to be a researcher in graphics then I believe that you should consider your mathematics education to be an ongoing process throughout your career.

If you do not particularly care for mathematics, is there still a chance of working in the field? Yes, a few areas within computer graphics are not much concerned with mathematical ideas. You should not give up on graphics just because you are not a math wizard. It is likely, however, that you will have more freedom in choosing research topics if you have a willingness to learn about new mathematical ideas.

There is no absolute answer to what mathematics is important in computer graphics. Different areas within the field require different mathematical techniques, and your own interests will likely lead you towards some topics and may never touch others. Below are descriptions of a number of areas in mathematics that I believe are useful in computer graphics. Do not feel that you need to be an expert in each of these areas to become a graphics researcher! I deliberately included many areas below to give a fairly broad view of the mathematical ideas used in graphics. Many researchers, however, will never find the need to look at some of the topics that I mention below.

Finally, although it should be clear from reading this, the opinions given within this document are entirely my own. It is likely that you would get a different list of topics or at least different emphases from other people who work in computer graphics. Now on to the list of topics.

Algebra and Trigonometry

What about the geometry that we learn in high school? It may come as a surprise, but our high school geometry is not very often needed for most tasks in computer graphics. The reason for this is that geometry as it is taught in many schools actually is a course in how to construct mathematical proofs. While proof construction is definitely a valuable intellectual tool, the actual theorems and proofs from your geometry class are not often used in computer graphics. If you go to graduate school in a mathematics related field (including computer graphics) then you may well find yourself proving theorems, but this is not necessary in order to start out in graphics.

If you have a good understanding of algebra and trigonometry then you are quite prepared to begin reading an introductory book in computer graphics. Most such books contain at least an abbreviated introduction to the next important area of mathematics for computer graphics, namely linear algebra.

Book recommendation:

Computer Graphics: Principles and Practice

James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes

Addison-Wesley

[a huge book, but still my favorite]

Linear Algebra

Book recommendation:

Linear Algebra and Its Applications

Gilbert Strang

Academic Press

Calculus

Calculus is the last of the topics that I will mention that is often introduced in high school. The topics to follow are almost always found in college courses.

Differential Geometry

Book recommendation:

Elementary Differential Geometry

Barrett O'Neill

Academic Press

Numerical Methods

Book recommendation:

Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing

William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery

Cambridge University Press

[this is a very valuable reference but is not normally used as a textbook]

Sampling Theory and Signal Processing

Book recommendation:

The Fourier Transform and Its Applications

Ronald N. Bracewell

McGraw Hill

Matrix Equations

Book recommendation:

Matrix Computations

Gene Golub and Charles Van Loan

Johns Hopkins University Press

Physics

Numerical Solutions of Differential Equations

In physical simulation, one breaks the world down into little pieces that are represented as large vectors. Then the relations between the parts of the world are captured in the entries in matrices. Solving the matrix equations that arise is not usually done exactly, but is instead performed by carrying out a long series of calculations that yields an approximate solution as a list of numbers. This is what numerical solutions of differential equations are about. Note that the solution of matrix equations is an intimate part of numerical solutions to differential equations.

Optimization

Probability and Statistics

Computational Geometry

Book recommendations:

Computational Geometry in C

Joseph O'Rourke

Cambridge University Press

[undergraduate text]

Computational Geometry: An Introduction

Franco Preparata and Michael Shamos

Springer-Verlag

[the classic text, somewhat dated]

Concluding Words: Applied and Pure Mathematics

There are a few areas of mathematics that seem as though they ought to be important and yet never really play a large part in computer graphics. Perhaps the most interesting of these areas is topology. The usual one-sentence description of topology is the study of why a doughnut and a coffee cup are the same. The answer is that they are both surfaces with one hole. Here we are talking about ideas from topology. Aren't surfaces a big part of computer graphics? Yes, but it turns out that most of the ideas in topology that are useful to graphics can be learned in a first course in differential geometry. Differential geometry studies the *shapes* of surfaces, whereas topology studies things such as which parts of a surface are next to which other parts. I have seen very little topology that is put to use in graphics, and I believe that this is because much of topology is concerned with rather abstract sets, and that much of topology is far removed from the concepts in three dimensional Euclidean space that is so central to most of graphics. There are times when the formalism of topology (the symbolic notation) is a convenient way to express ideas in graphics, but the actual tools from abstract topology so seldom play a role in graphics. Study this beautiful subject for its own sake, but don't expect an immediate payoff for graphics!

I have been asked a few times whether either abstract algebra (group theory, rings, etc.) or number theory play a role in computer graphics. Not much that I have seen. These subjects, like topology, are areas that are full of beautiful ideas. Unfortunately these ideas seldom find their way into computer graphics.

Mathematics for Computer Graphics
数学在计算机图形学中的应用
Greg Turk, August 1997
 “学习计算机图形学需要多少的数学？”这是初学者最经常问的问题。答案取决于你想在计算机图形学领域钻研多深。如果仅仅使用周围唾手可得的图形软件，你不需要知道多少数学知识。如果想学习计算机图形学的入门知识，我建议你读一读下面所写的前两章（代数，三角学和线性代数）。如果想成为一名图形学的研究者，那么对数学的学习将是活到老，学到老。
如果你并不特别喜欢数学，是否仍有在计算机图形学领域工作的机会？是的，计算机图形学的确有一些方面不需要考虑太多的数学问题。你不应该因为数学成绩不好而放弃它。不过，如果学习了更多的数学知识，似乎你将在研究课题上有更多的选择余地。
对于在计算机图形学中哪些数学才是重要的还没有明确的答案。这领域里不同的方面要求掌握不同的数学知识，也许兴趣将会决定了你的方向。以下介绍我认为对于计算机图形学有用的数学。别以为想成为一名图形学的研究者就必须精通各门数学！为了对用于图形学的数学有一个全面的看法，我特地列出了很多方面。但是许多研究者从不需要考虑下面提到的数学。
最后，虽然读了这篇文章后，你应该会对数学在计算机图形学中的应用有所了解，不过这些观点完全是我自己的。也许你应该阅读更多的此类文章，或者至少从其他从事计算机图形学工作的人那里了解不同的学习重点。现在开始切入正题。

代数和三角学
对于计算机图形学的初学者来说，高中的代数和三角学可能是最重要的数学。日复一日，我从简单的方程解出一个或更多的根。我时常还要解决类似求一些几何图形边长的简单三角学问题。代数和三角学是计算机图形学的最基础的知识。
那么高中的几何学怎么样呢？可能让人惊讶，不过在多数计算机图形学里，高中的几何学并不经常被用到。原因是许多学校教的几何学实际上是如何建立数学证明的课程。虽然证明题对提高智力显然是有效的，但对于计算机图形学来说，那些与几何课有关的定理和证明并不常被用到。如果你毕业于数学相关领域（包括计算机图形学），就会发现虽然你在证明定理，不过这对开始学习图形学不是必要的。
如果精通代数和三角学，就可以开始读一本计算机图形学的入门书了。下一个重要的用于计算机图形学的数学——线性代数，多数此类书籍至少包含了一个对线性代数的简要介绍。
推荐的参考书: 
Computer Graphics: Principles and Practice 
James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes 
Addison-Wesley 
[虽然厚重，可是我很喜欢]

线性代数
线性代数的思想贯穿于计算机图形学。事实上，只要牵涉到几何数值表示法,就常常抽象出例如x,y,z坐标之类的数值，我们称之为矢量。图形学自始至终离不开矢量和矩阵。用矢量和矩阵来描述旋转，平移，或者缩放是再好不过了。高中和大学都有线性代数的课程。只要想在计算机图形学领域工作，就应该打下坚实的线性代数基础。我刚才提到，许多图形学的书都有关于线性代数的简要介绍——足够教给你图形学的第一门课。
推荐的参考书: 
Linear Algebra and Its Applications 
Gilbert Strang 
Academic Press

微积分学 
微积分学是高级计算机图形学的重要成分。如果打算研究图形学，我强烈建议你应该对微积分学有初步认识。理由不仅仅是微积分学是一种很有用的工具，还有许多研究者用微积分学的术语来描述他们的问题和解决办法。另外，在许多重要的数学领域，微积分学被作为进一步学习的前提。学习了基本代数之后，微积分学又是一种能为你打开多数计算机图形学与后继的数学学习之门的课程。
微积分学是我介绍的最后一个中学课程，以下提及的科目几乎全部是大学的课程。

微分几何学
微分几何学研究支配光滑曲线，曲面的方程组。如果你要计算出经过某个远离曲面的点并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就会用到微分几何学。让一辆汽车以特定速度在曲线上行驶也牵涉到微分几何学。有一种通用的绘制光滑曲面的图形学技术，叫做“凹凸帖图”，这个技术用到了微分几何学。如果要着手于用曲线和曲面来创造形体（在图形学里称之为建模）你至少应该学习微分几何学的基础。
推荐的参考书: 
Elementary Differential Geometry 
Barrett O'Neill 
Academic Press 

数值方法
几乎任何时候，我们在计算机里用近似值代替精确值来表示和操作数值，所以计算过程总是会有误差。而且对于给定的数值问题，常常有多种解决的方法，一些方法会更块，更精确或者对内存的需求更少。数值方法研究的对象包括“计算方法”和“科学计算”等等。这是一个很广阔的领域，而且我将提及的其他几门数学其实是数值方法的一些分支。这些分支包括抽样法理论，矩阵方程组，数值微分方程组和最优化。
推荐的参考书: 
Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing 
William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery 
Cambridge University Press 
[这本参考书很有价值可是很少作为教材使用]

抽样法理论和信号处理
在计算机图形学里我们反复使用储存在正规二维数组里的数字集合来表示一些对象，例如图片和曲面。这时，我们就要用抽样法来表示这些对象。如果要控制这些对象的品质，抽样法理论就变得尤为重要。抽样法应用于图形学的常见例子是当物体被绘制在屏幕上时，它的轮廓呈现锯齿状的边缘。这锯齿状的边缘（被认为是“混淆”现象）是非常让人分散注意力的，用抽样法中著名的技术例如回旋，傅立叶变换，空间和频率的函数表示就能把这个现象减少到最小。这些思想在图像和音频处理领域是同样重要的。
推荐的参考书: 
The Fourier Transform and Its Applications 
Ronald N. Bracewell 
McGraw Hill

矩阵方程组
计算机图形学的许多问题要用到矩阵方程组的数值解法。一些涉及矩阵的问题包括：找出最好的位置与方向以使对象们互相匹配（最小二乘法），创建一个覆盖所给点集的曲面，并使皱折程度最小（薄板样条算法），还有材质模拟，例如水和衣服等。在图形学里矩阵表述相当流行，因此在用于图形学的数学中我对矩阵方程组的评价是很高的。
推荐的参考书: 
Matrix Computations 
Gene Golub and Charles Van Loan 
Johns Hopkins University Press

物理学
物理学显然不是数学的分支，它是自成一家的学科。但是在计算机图形学的某些领域，物理学和数学是紧密联系的。在图形学里，牵涉物理学的问题包括光与物体的表面是怎样互相影响的，人与动物的移动方式，水与空气的流动。为了模拟这些自然现象，物理学的知识是必不可少的。这和解微分方程紧密联系，我将会在下一节提到微分方程。

微分方程的数值解法
我相信对于计算机图形学来说，解微分方程的技巧是非常重要的。像我们刚才讨论的，计算机图形学致力于模拟源于真实世界的物理系统。波浪是怎样在水里形成的，动物是怎样在地面上行走的，这就是两个模拟物理系统的例子。模拟物理系统的问题经常就是怎样解微分方程的数值解。请注意，微分方程的数值解法与微分方程的符号解法是有很大差异的。符号解法求出没有误差的解，而且时常只用于一些非常简单的方程。有时大学课程里的“微分方程”只教符号解法，不过这并不会对多数计算机图形学的问题有帮助。
在对物理系统的模拟中，我们把世界细分为许多表示成矢量的小元素。然后这些元素之间的关系就可以用矩阵来描述。虽然要处理的矩阵方程组往往没有很精确的解，但是取而代之的是执行了一系列的计算，这些计算产生一个表示成数列的近似解。这就是微分方程的数值解法。请注意，矩阵方程的解法与微分方程数值解法的关系是很密切的。 

最优化
在计算机图形学里，我们常常为了期望的目标寻求一种合适的描述对象或者对象集的方法。例如安排灯的位置使得房间的照明看起来有种特殊的“感觉”，动画里的人物要怎样活动四肢才能实现一个特殊的动作，怎样排版才不会使页面混乱。以上这些例子可以归结为最优化问题。十年前的计算机图形学几乎没有最优化技术的文献，不过最近这个领域越来越重视最优化理论。我认为在计算机图形学里，最优化的重要性将会日益增加。

概率论与统计学
计算机图形学的许多领域都要用到概率论与统计学。当研究者涉足人类学科时，他们当然需要统计学来分析数据。图形学相关领域涉及人类学科，例如虚拟现实和人机交互(HCI)。另外，许多用计算机描绘真实世界的问题牵涉到各种未知事件的概率。两个例子：一棵成长期的树,它的树枝分杈的概率；虚拟的动物如何决定它的行走路线。最后，一些解高难度方程组的技巧用了随机数来估计方程组的解。重要的例子：蒙特卡罗方法经常用于光如何传播的问题。以上仅是一部分在计算机图形学里使用概率论和统计学的方法。

计算几何学
计算几何学研究如何用计算机高效地表示与操作几何体。典型问题如，碰撞检测，把多边形分解为三角形，找出最靠近某个位置的点，这个学科包括了运算法则，数据结构和数学。图形学的研究者，只要涉足创建形体（建模），就要大量用到计算几何学。
推荐的参考书: 
Computational Geometry in C 
Joseph O'Rourke 
Cambridge University Press 
[大学教材] 
Computational Geometry: An Introduction 
Franco Preparata and Michael Shamos 
Springer-Verlag 
[很经典，不过有点旧了]

总结：数学应用和数学理论
对于图形学来说，以上提到的许多数学学科都有个共同点：比起这些数学的理论价值，我们更倾向于发掘它们的应用价值。不要惊讶。图形学的许多问题和物理学者与工程师们研究的问题是紧密联系的，并且物理学者与工程师们使用的数学工具正是图形学研究者们使用的。多数研究纯数学理论的学科从不被用于计算机图形学。不过这不是绝对的。请注意这些特例：分子生物学正利用节理论来研究DNA分子动力学，亚原子物理学用到了抽象群论。也许有一天，纯数学理论也能推动计算机图形学的发展，谁知道呢？
有些看来重要的数学实际上在计算机图形学里不常被用到。可能拓扑学是此类数学中最有意思的。用一句话来形容拓扑学，它研究油炸圈饼与咖啡杯为什么在本质上是相同的。答案是他们都是只有一个洞的曲面。我们来讨论一下拓扑学的思想。虽然曲面是计算机图形学的重要成分，不过微分几何学的课程已经涵盖了多数对图形学有用的拓扑学知识。微分几何学研究曲面的造型，可是拓扑学研究曲面的相邻关系。我觉得拓扑学对于图形学来说几乎没用，这是由于拓扑学关心抽象的事物，而且拓扑学远离了多数图形学的核心——三维欧氏空间的概念。对于图形学来说，拓扑学的形式（符号表示法）是表达思想的简便方法，不过图形学很少用到抽象拓扑学的实际工具。对图形学来说，拓扑学像一个好看的花瓶，不过别指望它能立即带给你回报。
有人曾经这么问我，计算机图形学是否用到了抽象代数（群论，环，等等….）或者数论。我没怎么遇到过。和拓扑学一样，这些学科有很多美好的思想。可是很不幸，这些思想很少用于计算机图形学。
--The End--

[小鹏翻译 email: rggg_clp@163.com]

开发基于OpenGL的应用程序，必须先了解OpenGL的库函数。它采用C语言风格，提供大量的函数来进行图形的处理和显示。OpenGL库函数的命名方式非常有规律。所有OpenGL函数采用了以下格式：

<库前缀><根命令><可选的参数个数><可选的参数类型>

　　库前缀有gl、glu、aux、glut、wgl、glx、agl等等，分别表示该函数属于OpenGL那个开 发库，从函数名后面中还可以看出需要多少个参数以及参数的类型。I代表int型，f代表float型，d代表double型，u代表无符号整型。例如 glVertex3fv()表示了该函数属于gl库，参数是三个float型参数指针。我们用glVertex*()

来表示这一类函数。

　　OpenGL函数库相关的API有核心库(gl)、实用库(glu)、辅助库(aux)、实用工具库(glut)、窗口库(glx、 agl、wgl)和扩展函数库等。从图可以看出，gl是核心，glu是对gl的部分封装。glx、agl、wgl 是针对不同窗口系统的函数。glut是为跨平台的OpenGL程序的工具包，比aux功能强大。扩展函数库是硬件厂商为实现硬件更新利用OpenGL的扩 展机制开发的函数。下面逐一对这些库进行详细介绍。

1．OpenGL核心库

　　核心库包含有115个函数，函数名的前缀为gl。这部分函数用于常规的、核心的图形处理。此函数由gl.dll来负责解释执行。由于许多函数可以接收不同数以下几类。据类型的参数，因此派生出来的函数原形多达300多个。核心库中的函数主要可以分为以下几类函数：

• 绘制基本几何图元的函数：glBegain()、glEnd()、glNormal*()、glVertex*()；
• 矩阵操作、几何变换和投影变换的函数：如矩阵入栈函数glPushMatrix()，矩阵出栈函数glPopMatrix()，装载矩阵函数 glLoadMatrix()，矩阵相乘函数glMultMatrix()，当前矩阵函数glMatrixMode()和矩阵标准化函数 glLoadIdentity()，几何变换函数glTranslate*()、glRotate*()和glScale*()，投影变换函数 glOrtho()、glFrustum()和视口变换函数glViewport()；
• 颜色、光照和材质的函数：如设置颜色模式函数glColor*()、glIndex*()，设置光照效果的函数glLight*() 、glLightModel*()和设置材质效果函数glMaterial()；
• 显示列表函数：主要有创建、结束、生成、删除和调用显示列表的函数glNewList()、glEndList()、glGenLists()、glCallList()和glDeleteLists()；
• 纹理映射函数：主要有一维纹理函数glTexImage1D()、二维纹理函数glTexImage2D()、设置纹理参数、纹理环境和纹理坐标的函数glTexParameter*()、glTexEnv*()和glTetCoord*()；
• 特殊效果函数：融合函数glBlendFunc()、反走样函数glHint()和雾化效果glFog*()；
• 光栅化、象素操作函数：如象素位置glRasterPos*()、线型宽度glLineWidth()、多边形绘制模式glPolygonMode()，读取象素glReadPixel()、复制象素glCopyPixel()；
• 选择与反馈函数：主要有渲染模式glRenderMode()、选择缓冲区glSelectBuffer()和反馈缓冲区glFeedbackBuffer()；
• 曲线与曲面的绘制函数：生成曲线或曲面的函数glMap*()、glMapGrid*()，求值器的函数glEvalCoord*() glEvalMesh*()；
• 状态设置与查询函数：glGet*()、glEnable()、glGetError()。

2．OpenGL实用库The OpenGL Utility Library (GLU)

　 　包含有43个函数，函数名的前缀为glu。OpenGL提供了强大的但是为数不多的绘图命令，所有较复杂的绘图都必须从点、线、面开始。Glu 为了减轻繁重的编程工作，封装了OpenGL函数，Glu函数通过调用核心库的函数，为开发者提供相对简单的用法，实现一些较为复杂的操作。此函数由 glu.dll来负责解释执行。OpenGL中的核心库和实用库可以在所有的OpenGL平台上运行。主要包括了以下几种：

• 辅助纹理贴图函数：gluScaleImage() 、gluBuild1Dmipmaps()、gluBuild2Dmipmaps()；
• 坐标转换和投影变换函数：定义投影方式函数gluPerspective()、gluOrtho2D() 、gluLookAt()，拾取投影视景体函数gluPickMatrix()，投影矩阵计算gluProject()和gluUnProject()；
• 多边形镶嵌工具：gluNewTess()、gluDeleteTess()、gluTessCallback()、gluBeginPolygon()、gluTessVertex()、gluNextContour()、gluEndPolygon()；
• 二次曲面绘制工具，主要有绘制球面、锥面、柱面、圆环面gluNewQuadric()、gluSphere()、gluCylinder()、gluDisk()、gluPartialDisk()、gluDeleteQuadric()；
• 非均匀有理B样条绘制工具：主要用来定义和绘制Nurbs曲线和曲面，包括gluNewNurbsRenderer()、 gluNurbsCurve()、gluBeginSurface()、gluEndSurface()、gluBeginCurve()、 gluNurbsProperty()；
• 错误反馈工具：获取出错信息的字符串gluErrorString()。

3．OpenGL辅助库

　 　包含有31个函数，函数名前缀为aux。这部分函数提供窗口管理、输入输出处理以及绘制一些简单三维物体。此函数由glaux.dll来负责解释执行。 创建aux库是为了学习和编写OpenGL程序，它更像是一个用于测试创意的预备基础接管。Aux库在windows实现有很多错误，因此很容易导致频繁 的崩溃。在跨平台的编程实例和演示中，aux很大程度上已经被glut库取代。OpenGL中的辅助库不能在所有的OpenGL平台上运行。

　　辅助库函数主要包括以下几类：

• 窗口初始化和退出函数：auxInitDisplayMode()和auxInitPosition()；
• 窗口处理和时间输入函数：auxReshapeFunc()、auxKeyFunc()和auxMouseFunc()；
• 颜色索引装入函数：auxSetOneColor()；
• 三 维物体绘制函数：包括了两种形式网状体和实心体，如绘制立方体auxWireCube()和 auxSolidCube()。这里以网状体为例，长方体auxWireBox()、环形圆纹面auxWireTorus()、圆柱 auxWireCylinder()、二十面体auxWireIcosahedron()、八面体auxWireOctahedron()、四面体 auxWireTetrahedron()、十二面体auxWireDodecahedron()、圆锥体auxWireCone()和茶壶 auxWireTeapot()；
• 背景过程管理函数：auxIdleFunc()；
• 程序运行函数：auxMainLoop()。

4．OpenGL工具库 OpenGL Utility Toolkit

　 　包含大约30多个函数，函数名前缀为glut。glut是不依赖于窗口平台的OpenGL工具包，由Mark KLilgrad在SGI编写（现在在Nvidia），目的是隐藏不同窗口平台API的复杂度。 函数以glut开头，它们作为aux库功能更强的替代品，提供更为复杂的绘制功能，此函数由glut.dll来负责解释执行。由于glut中的窗口管理函 数是不依赖于运行环境的，因此OpenGL中的工具库可以在X-Window, Windows NT, OS/2等系统下运行，特别适合于开发不需要复杂界面的OpenGL示例程序。对于有经验的程序员来说，一般先用glut理顺3D图形代码，然后再集成为 完整的应用程序。

　　这部分函数主要包括：

• 窗口操作函数：窗口初始化、窗口大小、窗口位置函数等[glutInit()、glutInitDisplayMode()、glutInitWindowSize()、glutInitWindowPosition()]；
• 回调函数：响应刷新消息、键盘消息、鼠标消息、定时器函数[GlutDisplayFunc()、glutPostRedisplay()、 glutReshapeFunc()、glutTimerFunc()、glutKeyboardFunc()、glutMouseFunc()]；
• 创建复杂的三维物体：这些和aux库的函数功能相同；
• 菜单函数：创建添加菜单的函数GlutCreateMenu()、glutSetMenu()、glutAddMenuEntry()、glutAddSubMenu()和glutAttachMenu()；
• 程序运行函数：glutMainLoop()。

5．Windows专用库

　　针对windows平台的扩展，包含有16个函数，函数名前缀为wgl。这部分函数主要用于连接OpenGL和Windows ，以弥补OpenGL在文本方面的不足。   Windows专用库只能用于Windows环境中。

　　这类函数主要包括以下几类：

• 绘图上下文相关函数：wglCreateContext()、wglDeleteContext()、wglGetCurrentContent()、wglGetCurrentDC()、wglDeleteContent()；
• 文字和文本处理函数：wglUseFontBitmaps()、wglUseFontOutlines()；
• 覆盖层、地层和主平面层处理函数：wglCopyContext()、wglCreateLayerPlane()、wglDescribeLayerPlane()、wglReakizeLayerPlatte()；
• 其他函数：wglShareLists()、wglGetProcAddress()。

6．Win32 API函数库

　　包含有6个函数，函数名无专用前缀，是win32扩展函数。这部分函数主要用于处理像素存储格式和双帧缓存；这6个函数将替换Windows GDI中原有的同样的函数。Win32API函数库只能用于Windows 95/98/NT环境中。

7．X窗口专用库

　　是针对Unix和Linux的扩展函数。包括渲染上下文、绘制图元、显示列表、纹理贴图等；

• 初始化：glXQueryExtension()；
• 渲染上下文函数：glXCreateContext()、glXDestroyContext()、glXCopyContext()、glXMakeCurrent()、glXCreateGLXPixmap()；
• 执行：glXWaitGL()、glXWaitX()；
• 缓冲区和字体：glXSwapBuffers()、glXUseXFont()。

8．其他扩展库

　 　这些函数可能是新的OpenGL函数，并没有在标准OpenGL库中实现，或者它们是用来扩展已存在的OpenGL函数的功能。和glu、glx和 wgl一样，这些OpenGL扩展是由硬件厂商和厂商组织开发的。OpenGL扩展(OpenGL Extention)包含了大量的扩展API函数。

　 　随着硬件的更新，硬件厂商首先向SGI申请登记新的扩展，编写规格说明书（specification）。然后按照说明书进行开发扩展程序。不同的 OpenGL实现（OpenGL Implementation）支持的扩展可能不一样，只有随着某一扩展的推广与应用以及硬件技术的提高该扩展才会在所有的OpenGL实现中被给予支 持，从而最终成为OpenGL标准库的一部分。扩展由SGI维护，在SGI网站上列出了目前公开的已注册的扩展及其官方说明书。扩展源由扩展函数的后缀来 指明(或使用扩展常量后缀)。例如，后缀WIN表明一个符合Windows规范的扩展，EXT或ARB后缀表明该扩展由多个卖主定义。

下面给出OpenGL官方规定的命名规则：

• ARB – OpenGL Architecture Review Board正式核准的扩展，往往由厂商开发的扩展发展而来，如果同时存在厂商开发的扩展和ARB扩展，应该优先使用ARB扩展；
• EXT – 多家OpenGL厂商同意支持的扩展；
• HP – Hewlett-Packard 惠普；
• IBM – International Business Machines ；
• KTX – Kinetix, maker of 3D Studio Max ；
• INTEL – Intel 公司；
• NV – NVIDIA 公司；
• MESA – Brian Paul’s freeware portable OpenGL implementation ；
• SGI – Silicon Graphics公司开发的扩展；
• SGIX – Silicon Graphics (experimental) 公司开发的实验性扩展；
• SUN – Sun Microsystems；
• WIN – Microsoft 。

　　由于OpenGL扩展在针对不同平台和不同驱动，OpenGL不可能把所有的接口程序全部放到gl.h、glx.h、wgl.h中，而是将这些函数头放在了glext.h、glxext.h和wglext.h中。这些扩展被看作时OpenGL核心库规范的增加和修改。

【引言】
什么是计算机图形学？ 本文尽量避免给它做严格的定义，但是通常来说，计算机图形学是数字图象处理的逆过程，这只是一个不确切的定义，后面我们会看到，实际上，计算机图形学、数字图象处理和计算机视觉在很多地方的区别不是非常清晰的，很多概念是相通的。
计算机图形学是用计算机来画东西的学科，数字图象处理是把外界获得的图象用计算机进行处理的学科。在法国，图形图象是一门课程。
如何学习计算机图形学呢？除了计算机图形学的基础知识以外，你还需要有以下的知识，你懂的越多，当然做的越好。
* 英语， 你一定要把英语学好，如果你想学习计算机图形学的话，尽量看英文的书籍和资料
* 数学， 计算机图形学里面的数学用的比较多，，我们可以列举一些常用的：
高等数学，数值分析，微分几何，拓扑，概率， 插值理论，（偏）微分方程…
* 物理， 如果你要进行基于物理的建模，一些物理理论是要学习的：
力学（运动学，动力学，流体力学…），光学，有限元…
* 编程语言： C或C++是计算机图形学最通用的‘普通话’，
* 数据结构： 你需要数据结构来描述你的图形对象，除了通用的链表、树等数据结构外，图形学还有自己特殊的数据结构
* 其他类别： 有的时候你需要其他学科的知识，根据你的需要去学习吧

上面列举的不是你必须学习的东西，而是计算机图形学可能会用到的东西，一定要记住，不要指望通过一本教材就学会计算机图形学，它比你想象的要复杂的多。

【图形学的问题】
每个学科都有自己学科的特定问题，图形学要解决的是如何画出图来，得到需要的效果，当然这是图形学最大的一个问题。

在开始学习计算机图形学的时候，找一本简单的书看，对计算机图形学有个大概的认识，你就可以开始图形学之旅了：

OpenGL Programming Guide: The Official Guide to Learning OpenGL, Version 1.4, Fourth Edition
OpenGL SuperBible (3rd Edition)

是比较好的学习计算机图形学的入门教材，在练中去学，一开始就去啃Foley的
Computer Graphics: Principles and Practice, Second Edition in C
不是好主意，会看的一头雾水，一本什么都讲的书的结果往往是什么都没讲清楚。
当你把OpenGL的基本内容掌握之后，你对图形学就有了大概的了解了。

那么下面你可以来学习一下计算机图形学的数据结构和算法，下面的书比较适合：
Joseph O'Rourke 的Computational Geometry in C，书里面有C的源代码，讲述简单，清晰，适合程序员学习。

总的来说，计算机图形学涉及到2大部分：建模和渲染
(1) 建模
你想画一个东西，首先要有它的几何模型，那么这个几何模型从什么地方来呢？下面的书很不错的：
Gerald Farin 的Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide
这本书就有一点的难度了，呵呵，要努力看啊。这本书算是CAGD (计算机辅助几何设计)的经典图书，CAGD方面的全貌，还有2本很好的讲述曲面的书Bezier和Nurbs的书
Les A. Piegl, Wayne Tiller 的The Nurbs Book
书里面有NURBS曲线、曲面的程序伪代码，很容易改成C的，书讲的通俗、易懂，但是你要有耐心看的：）

《曲线与曲面的数学》
这本书是法国人写的中文翻译版，里面还有Bezie本人写的序J，翻译的很不错的，看了你就掌握Bezier曲面技术了。
还有其他的一些造型技术，比如：
隐式曲面(Implicit Surface)的造型：
就是用函数形式为F( x ,y ,z ) = 0的曲面进行造型，这样的造型技术适合描述动物器官一样的肉乎乎的东西，有2本书推荐大家：
Jules Bloomenthal编辑的Introduction to Implicit Surfaces，是一本专著，讲述了Implicit Surface建模型(Modeling)，面片化(Polygonization)，渲染(Rendering)的问题。
Luiz Velho 的 Implicit Objects Computer Graphics 也是一本专著，讲述更新的一些进展。

细分曲面（Subdivision Surface）造型
当用NURBS做造型的时候，曲面拼接是复杂的问题，在动画的时候，可能产生撕裂或者褶皱，Subdivision Surface用来解决这个问题。
Joe Warren的Subdivision Methods for Geometric Design: A Constructive Approach就是这方面的专著。

从实际物体中得到造型，现在的技术可以用三维扫描仪得到物体表面的点，然后根据这些点把物体的表面计算出来，称为重建(Reconstruction)，因为这些技术之在文章中论述，所以我们省略对它的描述。
在你的几何模型做好之后，有一些问题需要对这个模型进一步处理，得到适合的模型，当面片很多的时候，或者模型很复杂的时候，需要对几何模型进行简化，才可以满足一些实时绘制的需要，这个技术叫做层次细节（LOD-Level of Detail）。下面的书就是讲这个的：
David Luebke编著的 Level of Detail for 3D Graphics
(2) 渲染
有了模型，怎么把这个几何模型画出来呢？这个步骤就是渲染。
如 果你看了上面的OpenGL的书，那么你就知道一些渲染的知识了，但是别高兴的太早，OpenGL使用的是局部光照模型（Local Illumination Model）。Local illumination Model指的是在做渲染的时候只考虑光源和物体之间的相互作用，不考虑物体和物体之间的影响，所以OpenGL不支持阴影，一个（半）透明物体的效果， 这些需要考虑物体之间的影响才可以实现。
（*OpenGL本身不支持，但是通过一些方法可以实现的，用Google搜索一下
Shadow Volume, OpenGL就找到答案。）
Global Illumination Model 这类模型考虑的就比较全。现在关于Global Illumination的技术有3大类，具体的技术就不在这里介绍了。

光线追踪(Ray Tracing)
关于Ray Tracing的好书有2本：
Andrew Glassner 的An Introduction to Ray tracing
Glasser是图形界的名人，这本书也是Ray Tracing的经典

R. Keith Morley, Peter Shirley 的Realistic Ray Tracing, Second Edition
这本书第一版是伪代码，第二版是C代码。它的结构不是很清楚，虎头蛇尾的感觉。

辐射度(Radiosity)
关于Radiosity的好书有4本：
Michael Cohen 的Radiosity and Realistic Image Synthesis ， Cohen获得SIGGRAPH 1998计算机图形学成就奖，他把Radiosity变成实际可用。
Francois X. Sillion的Radiosity and Global Illumination ， Sillion是法国人，他的主要研究方向是Radiosity，这本书写的很不错的，非常清晰。

Philip Dutre 的新书Advanced Global Illumination ，看起来还不错，刚拿到手，还没看，呵呵，所以不好评价。

Ian Ashdown的Radiosity: A Programmer's Perspective
有源代码的书啊！
Photon mapping
这个我也不知道怎么翻译，呵呵。这个技术出现的比较晚，一本好书！
Henrik Wann Jensen的Realistic Image Synthesis Using Photon Mapping
Henrik Wann Jensen是Photon mapping技术的发明者
【非真实性图形学】（Non-Photorealistic Graphics）
真实性不是计算机图形学的唯一要求，比如：你给我画一个卡通效果的图出来，或者我要用计算机画水彩画怎么办？或者：把图象用文字拼出来怎么做？，解决这些问题要用到非真实性图形学， 好书继续推荐！
Bruce Gooch, Amy Ashurst Gooch的 Non-Photorealistic Rendering

【体图形学】(Volume Graphics)
用CT机做很多切片（比如头骨），那么能通过这些切片得到3D的头骨吗？Volume Graphics就是解决这样的问题的
Min Chen 编著的Volume Graphics

上面的2个图形学技术就和图象的界限不明显了，实际上他们是图形图象的综合。

【其他的书】
还有一些好书啊，呵呵，好书看不完的，继续放送：

Graphics Gems I ~ V，一大帮子人写的书，包括研究人员，程序员…有计算机图形学的各种数据结构，编程技巧。

Tomas Akenine-Moller 等人编著的Real-Time Rendering (2nd Edition)
许多最新的计算机图形学进展。

David Ebert等人的Texturing & Modeling: A Procedural Approach, Third Edition
讲述如何通过程序实现纹理、山、地形等图形学要素。
关于图形学的特定对象，有特定的专题图书，
Evan Pipho Focus On 3D Models,对于图形学的常用模型格式，进行了讲解
Trent Polack的 Focus On 3D Terrain Programming ，讲地形的
Donald H. House 的Cloth Modeling and Animation ，讲布料的
Nik Lever的Real-time 3D Character Animation with Visual C++ ，讲角色动画的
Richard Parent的 Computer Animation: Algorithms and Techniques，当然是讲动画的啦，呵呵。
David H. Eberly的3D Game Engine Design : A Practical Approach to Real-Time Computer Graphics ，有代码的啊！呵呵：）

最后，没事情的时候，看看下面的书吧
Alan H. Watt， 3D Computer Graphics (3rd Edition)

James D. Foley等人的 Computer Graphics: Principles and Practice in C (2nd Edition) ，这本圣经没事的时候再看吧，呵呵。

累了:( 不说了，上面的书差不多了，还有一些shader的书，我不了解，以后会补上的:)

4.   资源

从哪里找到这些书啊？还有什么资源啊？

我保证，上面的书在www.amazon.com 都可以买到：） 别打我

那好，大部分的书在国家图书馆可以复印到，北京的兄弟有福啦，3年前的书借出来复印，1角/页，但是新书要早图书馆里复印，5~6角/页，还是比Amazon便宜啊，呵呵。

不行大家就到国外买，合买吧，还负担的起。
我对DirectX不了解，所以没有涉及关于DirectX的内容：）

一个图形爱好者的书架．－也来介绍一下我的藏书．

早几天看到有人把自己在大学四年的书列了出来．招来一顿怀疑．我是开发图形程序的．我现在也把我的书列出来．不怕大家怀疑吧．希望能有点启示作用．

绿色的是我看完了的。红色的是没怎么看的。黄色的是看了一半以上的。

首先是基础部分：
语言类：
C++ Programming Language (Special Edition). C++的圣经级别的书．我只看原文的。不看翻译的．对球教授的翻译表示一定的保留意见．
Effictive/More Effictive C++． 工程实践的最佳经验书籍．
Inside C++ Object Model .好书．看完了。你对C++的理解会变的很深刻的。
设计模式 　．好书．买了看就是了。别问我为什么啊。　
More Excpetion C++ 　和Effective C++有同工之处．
STL 源代码破析 。正在看的过程中。不过最近最Loki Boost的兴趣大点。
STL 中文版       一本参考手册。
Moden C++ Design 看完了这本书。我估计会吐血。但是还是要看。经典啊，书的例子Loki的代码
C++自学通 ，我入门的书 。不过现在已经找不到了。
潭浩强的C程序设计 。经典。C教材里这本最好。不许大家B4他。
C++Template : 有人说翻译的不好。我觉得还可以.

Python 语言入门 。我拿来做游戏脚本用的。
Unix Shell编程 。

算法和基础类。
程序设计实践 　　　给你一个很好的经验．很薄的，去买来看看。
C++分形程序设计 。当年给一个JJ做毕业设计。花了半个月看完的。
数据结构（C++语言描述） 影印版。好书，但是没看完。教材来着的。
数据结构（用面向对象方法与C++描述）。 清华出的。看完了。
人工智能 Nilson的书。看不懂。呵呵。

开发工具和平台的书
Unix 环境高级编程 : 学Unix编程.就从这里开始吧.现在在看X-Window编程.可惜没有介绍XLib的书.因为要用OpenGL.最好还是从XLib开始.痛苦.只能看Xlib.pdf
Unix 高级编程       : 我真不相信我能检到这么一本好书.想买.但是没钱.呵呵。检一本.不错.
VC++技术内幕 ，翻译的好烂啊。不过当时我不知道。最后还是看完了。
Windows下的C语言编程 。我的 Win32入门书籍。
Win32程序员指南 ，我的Win32提高书籍。10块一本。呵呵。
Windows 核心编程 。看完了这个。大家说我是个高手了。
深入浅出MFC ．　　　看了一半后，我自己去看MFC的代码了．
ATL 开发人员指南 　　没怎么看．很实用的样子．
COM 本质论 　．看完了大长见识，我就是看了他后，才知道接口的概念的．
ATL 本质论 　，看了后让我模板水平有不少提高．
Linux内核编程 　没什么好说的。
X86的体系结构和汇编 ：忘记了具体名字了。大概　是这个名字．我的汇编知识都是从这里来的。只看了前面的部分
汇编语言程序设 计: 钱晓捷主编.有介绍SSE和MMX的。很不错哦。 也很便宜
应用程序调试技巧 : 很经典的调试书.Numega公司的工程师写的.(出品SoftICE的那个公司).有些技巧只能用神奇来形容.

专业的图形书
图形开发人员指南 　著名的黑皮书．我是怀着崇拜的心情收藏这本书的。John Carmack做的序．Micheal Abrash的书．偶像啊。
计算机图形学 （清华大学）。烂书。不过也差不多看完了。现在在一个 MM手里。
图形学 （电子工业出版社）老外的书。不错。正在看。
计算机图形学算法基础 ：经典。没看完。看了1/3了。翻了一遍。
计算机真实感图形的算法基础 。国内最好的图形学的书。刚拿到。正在看。
非真实感计算机图形学 : 刚买到的.不是太有用。太学术了。
游戏编程精粹 1/2/3. 中文版 。偶尔翻一两篇不错的。不过我要对着英文的看才看的懂。
OpenGL Red Book ．中文版还可以．非读不可．
OpenGL 超级宝典 　比较好．很实用，对初学者很好．
3D Games Vol1 . 就是介绍Fly 3D 的书。看了一半了。很不错。
Real-Time Rendering 1 . 正在看。很好的书
Real-Time Rendering 2 : 中文版和英文版都有:
CG 教程 :  推荐你学好图形学后再来看.
OpenGL Shading Languge : 看了前面的大半了。
GPU Gems :                    刚买到的.花了我350大元.不过好看.
3D Math Primer For Computer Graphics and 3D Games . 数学书里就这本好一点了。
3D Game Engine Design 　正在看。对着书写自己的物理引擎。
ShaderX 2 Tricks . 　　没看。刚拿到。经典到不用介绍的程度了。
还有其他打印的资料无数 :-)