求最大公约数九法

湖南省武冈市教研室 周定武

　　一、观察法．

　　运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察．

　　例如，求225和105的最大公约数．因为225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公约数（3×5）15．因为225÷15＝15，105÷15＝7．15与7互质，所以225和105的最大公约数是15．

　　二、查找约数法．
先分别找出每个数的所有约数，再从两个数的约数中找出公有的约数，其中最大的一个就是最大公约数．

　　例如，求12和30的最大公约数．
12的约数有：1、2、3、4、6、12；
30的约数有：1、2、3、5、6、10、15、30．
12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数．

　　三、分解因式法．

　　先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公约数．

　　例如：求125和300的最大公约数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公约数是5×5＝25．

　　四、关系判断法．

　　当两个数关系特殊时，可直接判断两个数的最大公约数．例如，两个数互质时，它们的最大公约数就是这两个数的乘积；两个数成倍数关系时，它们的最大公约数就是其中较小的那个数．

　　五、短除法．

　　为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公约数就是所有除数的乘积．

　　例如：求180和324的最大公约数．

　　因为：

　　5和9互质，所以180和324的最大公约数是4×9＝36．

　　六、除法法．

　　当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公约数．

　　例如：求19和152，13和273的最大公约数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公约数是19，13和273的最大公约数是13．

　　七、缩倍法．

　　如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以2、3、4……直到求得的商是较大数的约数为止，这时的商就是两个数的最大公约数．例如：求30和24的最大公约数．24÷4＝6，6是30的约数，所以30和24的最大公约数是6．

　　 八、求差判定法．

　　如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数．例如：求78和60的最大公约数．78－60＝18，18和60的最大公约数是6，所以78和60的最大公约数是6．

　　
如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公约数就是原来两数的最大公约数．例如：求92和16的最大公约数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公约数是4，所以92和16的最大公约数就是4．

　　九、辗转相除法．

　　当两个数都较大时，采用辗转相除法比较方便．其方法是：

　　以小数除大数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数．否则就用余数来除刚才的除数；再用这新除法的余数去除刚才的余数．依此类推，直到一个除法能够整除，这时作为除数的数就是所求的最大公约数．

　　例如：求4453和5767的最大公约数时，可作如下除法．

　　5767÷4453＝1余1314

　　4453÷1314＝3余511

　　1314÷511＝2余292

　　511÷292＝1余219

　　292÷219＝1余73

　　219÷73＝3

　　于是得知，5767和4453的最大公约数是73．

　　辗转相除法适用比较广，比短除法要好得多，它能保证求出任意两个数的最大公约数．

int GetGCDRec(int n, int m)
{
    if (m < n)
    {
        m ^= n;
        n ^= m;
        m ^= n;
    }

    if (n == 0)
        return m;
    else
        return GetGCDRec(n, m % n);
}

辗转相除法，求一个数组中所有数的最大公约数

int GetGCD(int *arr, int len)
{
    int iMax = arr[0], iCurr, iRemainder;

    for(int i = 1; i < len; i++)
    {
        iCurr = arr[i];

        if (iMax < iCurr)
        {
            iMax ^= iCurr;
            iCurr ^= iMax;
            iMax ^= iCurr;
        }

        iRemainder = iMax % iCurr;

        while (iRemainder)
        {
            iMax = iCurr;
            iCurr = iRemainder;
            iRemainder = iMax % iCurr;
        }
        
        iMax = iCurr;
    }//for

    return iMax;

}

最小公倍数就是乘积除以最大公约数

int GetLCM(int *arr, int len)
{
    int multiple = 1;

    for (int i = 0; i < len; i++)
        multiple *= arr[i];

    return multiple / GetGCD(arr, len);
}