今天切010大神博客中收录的KMP题时，有一道题是关于最短完全覆盖子序列的。题目地址：http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1961

题意就不说了，很容易理解。

做该题的时候，我先自己在草稿纸上写了几个有完全覆盖子序列的串，如ababab，用kmp求他的next值分别是：0 0 1 2 3 4。于是本菜得出结论：如果一个串有完全覆盖子序列的话那么最短的完全覆盖子序列一定满足：如果该子序列长度为x，那么next值前面必是x个0，然后依次递增1。写代码的时候本菜又突然发现，先设主串长度为len，则len-next[len]居然等于最短完全覆盖子序列的长度。于是本菜就yy了一下，直接判断len%(len-next[len])的值是否为0。如果为0，那么存在，且长度为len-next[len]，否则不存在。没想到居然AC！！不得不自恋下本菜的RP！

做完之后本菜百思不得其解，问了下010大神，表示只知道这个道理。于是好奇心有点强的我想自己证明试试。于是就有了如下的见解(大牛无需观看..)

先根据KMP算法求串S的next值，假设串长为len，现在猜想如果len%(len-next[len])==0时，有完全覆盖子序列，且最短完全覆盖子序列的长度即为len-next[len]。

证明之前先讲述一下什么是完全覆盖子序列。假设串S="abcabcabcabc"，那么我们说abc、abcabc、abcabcabcabc是S的完全覆盖子序列。即一个子串能完全的覆盖主串的子序列叫做完全覆盖子序列。所谓最短，即完全覆盖子序列中最短的，例子中的最短完全覆盖子序列是abc。

证明：

我们知道当串S有完全覆盖子序列时，那么一定满足上式，即len%(len-next[len])==0。因为根据kmp的性质，len-next[len]必为最短完全覆盖子序列的长度。所以我们肯定如果S存在完全覆盖子序列的话，那么len%(len-next[len])一定等于0。

那么是不是满足len%(len-next[len])==0的串就一定有完全覆盖子序列呢？

设next[len]=x.我们先考虑x<len/2的情况。显然len-x>len/2，显然len%(len-next)不为0，所以不满足有完全覆盖子序列的必要条件，我们不予考虑。

现在，考虑x>=len/2的情况。假设满足len%(len-x)==0时仍没有完全覆盖子序列。为了证明下面我们用了几个符号代表一些含义。设y=len-x。因为y|len,所以y|(x+y),而y|y，所以y|x。用X表示S串中前x个字符(包括第x个字符)形成的子串，Y表示自第x个后面的y个字符形成的子串。所以X的长度为x，Y的长度为y。因为y|x,令m=y/x，所以我们把X分成m等份，用X1,X2...Xm表示。因为next[len]=x，所以我们有X1+X2+X3+...+Xm-1+Xm=X2+X3+...+Xm+Y。加号代表连接。即得到X1=X2=X3=...=Xm=Y！我们发现了一个序列Y可以完全覆盖主串S，且该子串长为y=len-x。这已之前的假设相冲突，于是我们肯定len%(len-next[len])==0时，一定有完全覆盖子序列，且最短完全覆盖子序列长度为len-next[len].

证毕！

树状数组可以用来干嘛？树状数组可以用来快速求一个数组的和。。。。

当然这只是片面的，树状数组最大的好处就是支持处理一些动态的问题，它是一种高效的进行区间统计的数据结构。

它支持查询和修改操作，并且复杂度都是log(n)级别的，可见树状数组的高效。

看图说话(摘自百度百科)：

看懂了这个图就基本掌握了树状数组了。

来观察这个图：

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x){

return x&(x^(x–1));

}

当想要查询一个SUM(n)时，可以依据如下算法即可：

step1:令sum = 0，转第二步；

step2:假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

对于数组求和来说树状数组简直太快了!