C++博客-ACM___________________________-随笔分类-ACM ( 母函数 )

HDOJ HDU 2082 找单词 ACM 2082 IN HDU

MiYu — Sat, 07 Aug 2010 13:00:00 GMT

MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋

题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082
题目描述:

Problem Description
假设有x1个字母A， x2个字母B,.. x26个字母Z，同时假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,.. 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比如ACM与CMA认为是同一个单词）。

Input
输入首先是一个整数N，代表测试实例的个数。
然后包括N行数据，每行包括26个<=20的整数x1,x2,..x26.

Output
对于每个测试实例，请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。

Sample Input
2
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9

Sample Output
7
379297

题目分析:
有是一个很标准的母函数的题目 ( 更多母函数的了解请看 <<母函数详解>> ). 不过此题可以进行适当的优化, 因为数据是 26个数据顺序输入的,不是稀疏多项式,所以直接用一个变量输入就行了.

代码如下:

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#include <iostream>
using namespace std;
int num1[51];
int num2[51];
int main ()
{
    int T;
    while ( cin >> T )
    {
           while ( T -- )
           {
                   memset ( num1, 0 , sizeof ( num1 ) );
                   memset ( num2, 0 , sizeof ( num2 ) );
                   num1[0] = 1;
                   for ( int i = 1; i <= 26; ++ i )
                   {
                         int cnt ;
                         cin >> cnt;
                         if ( cnt == 0 )
                         {
                              continue;
                         }
                         for ( int j = 0; j <= 50 ; ++ j )
                         {
                               for ( int k = 0; k <= cnt && k * i + j <= 50;  k ++ )
                               {
                                     num2[ k * i + j ] += num1[j];
                               }
                         }
                         for ( int j = 0; j <= 50; ++ j )
                         {
                               num1[j] = num2[j];
                               num2[j] = 0;
                         }
                   }
                   int total = 0;
                   for ( int i = 1; i <= 50; ++ i )
                   {
                         total += num1[i];
                   }
                   cout << total << endl;
           }
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-07 21:00 发表评论

HDOJ HDU 2079 选课时间 ACM 2079 IN HDU

MiYu — Fri, 06 Aug 2010 02:14:00 GMT

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题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2079
题目描述:

Describtion
又到了选课的时间了，xhd看着选课表发呆，为了想让下一学期好过点，他想知道学n个学分共有多少组合。你来帮帮他吧。（xhd认为一样学分的课没区别）

Input
输入数据的第一行是一个数据T，表示有T组数据。
每组数据的第一行是两个整数n(1 <= n <= 40)，k(1 <= k <= 8)。
接着有k行，每行有两个整数a(1 <= a <= 8),b(1 <= b <= 10)，表示学分为a的课有b门。

Output
对于每组输入数据，输出一个整数，表示学n个学分的组合数。

很简单的题目, 看上去就是直接母函数了, 而且还比较标准.
代码如下:

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#include <iostream>
using namespace std;
int score[9];
int amt[9];
int num1[41];
int num2[41];
int main ()
{
    int T;
    while ( cin >> T )
    {
          while ( T -- )
          {
                int N,K;
                cin >> N >> K;
                for ( int i = 1; i<= K; ++ i )
                {
                      cin >> score[i] >> amt[i];
                }
                for ( int i = 0; i <= N; ++ i )
                {
                      num1[i] = num2[i] = 0;
                }
                num1[0] = 1;
                for ( int i = 1; i <= K; ++ i )
                {
                      for ( int j = 0; j <= N; ++ j )
                      {
                            for ( int k = 0; k <= amt[i] && k * score[i] + j <= N; ++ k )
                            {
                                  num2[ k * score[i] + j ] += num1[j];
                            }
                      }
                      for ( int j = 0; j <= N; ++ j )
                      {
                            num1[j] = num2[j];
                            num2[j] = 0;
                      }
                }
                cout << num1[N] << endl;
          }
    }
    return 0;
}

这道题的数据是比较小的, 所以可以直接暴力AC, 这样想起来, 暴力似乎更加简单直观, 所以以后做题的时候应该先分析题目数据的规模, 以免浪费比赛时间, 当然,平常练习时不建议暴力.
暴力代码: ( 非本人所写, 据说HDU上可以0k 0ms过, 没试过 )

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int c[9], k, n, i;
    int count;
    int t[9], a, b;
    int total = 40;

    scanf("%d", &k);
    while (k-- && scanf("%d%d", &total, &n))
    {
        for (count = i = 0; i < 9; t[i++] = 0);
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            t[a] = b;
        }
        for (c[8] = 0; c[8] <= t[8] && c[8] * 8 <= total; c[8]++)
        for (c[7] = 0; c[7] <= t[7] && c[8] * 8 + c[7] * 7 <= total; c[7]++)
        for (c[6] = 0; c[6] <= t[6] && c[8] * 8 + c[7] * 7 + c[6] * 6 <= total; c[6]++)
        for (c[5] = 0; c[5] <= t[5] && c[8] * 8 + c[7] * 7 + c[6] * 6 + c[5] * 5 <= total; c[5]++)
        for (c[4] = 0; c[4] <= t[4] && c[8] * 8 + c[7] * 7 + c[6] * 6 + c[5] * 5  + c[4] * 4 <= total; c[4]++)
        for (c[3] = 0; c[3] <= t[3] && c[8] * 8 + c[7] * 7 + c[6] * 6 + c[5] * 5  + c[4] * 4  + c[3] * 3 <= total; c[3]++)
        for (c[2] = 0; c[2] <= t[2] && c[8] * 8 + c[7] * 7 + c[6] * 6 + c[5] * 5  + c[4] * 4  + c[3] * 3  + c[2] * 2 <= total; c[2]++)
        {
            c[1] = total - (c[8] * 8 + c[7] * 7 + c[6] * 6 + c[5] * 5  + c[4] * 4  + c[3] * 3  + c[2] * 2);
            if (c[1] >= 0 && c[1] <= t[1]) count++;
        }
        printf("%d\n", count);
    }


    return 0;
}

MiYu 2010-08-06 10:14 发表评论

HDOJ HDU 1398 Square Coins ACM 1398 IN HDU

MiYu — Thu, 05 Aug 2010 05:02:00 GMT

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题目地址：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
也是一道基础的母函数题目 , 详细可以参照母函数 ( Generating function ) 详解
代码如下 :

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#include <iostream>
using namespace std;
int num1[11111];
int num2[11111];
int main ()
{
    int N;
    while ( cin >> N , N )
    {
           for ( int i = 0 ; i <= N; ++ i )
           {
                 num1[i] = 1;
                 num2[i] = 0;
           }
           for ( int i = 2; i <= 17; ++ i )
           {
                 for ( int j = 0;j <= N; ++ j )
                 {
                       for ( int k = 0; k + j <= N; k += i * i )
                       {
                             num2[j + k] += num1[j];
                       }
                 }
                 for ( int j = 0; j <= N; ++ j )
                 {
                       num1[j] = num2[j];
                       num2[j] = 0;
                 }
           }
           cout << num1[N] << endl;
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-05 13:02 发表评论

HDOJ HDU 1028 Ignatius and the Princess III ACM 1028 IN HDU

MiYu — Thu, 05 Aug 2010 04:57:00 GMT

//MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋

题目地址：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
标准的母函数题目 ,很基础, 可以直接使用模板, 不过敲代码也用不了多长时间,建议手打,加深记忆.
代码如下 :

//MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋

#include <iostream>
using namespace std;
int num1[122];
int num2[122];
int main ()
{
    int N;
    while ( cin >> N )
    {
           for ( int i = 0 ; i <= N; ++ i )
           {
                 num1[i] = 1;
                 num2[i] = 0;
           }
           for ( int i = 2; i <= N; ++ i )
           {
                 for ( int j = 0;j <= N; ++ j )
                 {
                       for ( int k = 0; k + j <= N; k += i )
                       {
                             num2[j + k] += num1[j];
                       }
                 }
                 for ( int j = 0; j <= N; ++ j )
                 {
                       num1[j] = num2[j];
                       num2[j] = 0;
                 }
           }
           cout << num1[N] << endl;
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-05 12:57 发表评论

母函数 ( Generating function ) 详解 <转载自奋斗哥のblog>

MiYu — Thu, 05 Aug 2010 04:52:00 GMT

母函数（Generating function）详解

前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。

(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)

在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”

“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “

我们首先来看下这个多项式乘法：

由此可以看出:

1. x的系数是a₁,a₂,…a_n_{的单个组合的全体。}

2. x²的系数是a₁,a₂,…a₂的两个组合的全体。

………

n. xⁿ的系数是a₁,a₂,….a_n的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：

母函数的定义：

对于序列a₀，a₁，a₂，…构造一函数：

称函数G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函数

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

考虑用母函数来接吻这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x²表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x³表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x⁴表示，

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x²来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”

1+x²表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x²表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x²(想下为何？结合数学式子)。

Tanky　Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

例如右端有2x⁵ 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。

接着上面，接下来是第二种情况：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

以展开后的x⁴为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

 #include 
            using namespace std;
            // Author: Tanky Woo
            // www.wutianqi.com
            const int _max = 10001;
            // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
            // c2是中间量，保存没一次的情况
            int c1[_max], c2[_max];
            int main()
            {	//int n,i,j,k;
            int nNum;   // 
            int i, j, k;
             
            while(cin >> nNum)
            {
            for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
            {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
            }
            for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
            {
             
            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
            for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
            {
            c2[j+k] += c1[j];
            }
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
            {
            c1[j] = c2[j];
            c2[j] = 0;
            }
            }
            cout << c1[n] << endl;
            }
            return 0;
            }

我们来解释下上面标志的各个地方：

① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x²+..xⁿ)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。

③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x²+x⁴….)里，第j个就是x^2*j.

③ k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。

④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的

咱们赶快趁热打铁，来几道题目：

（相应题目解析均在相应的代码里分析）

1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码：http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!

看看这题：

2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码：http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码：http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点，但是万变不离其中。

大家好好分析下，结合代码就会懂了。

4. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代码：http://www.wutianqi.com/?p=594

还有一些题目，大家有时间自己做做：

HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

附：

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。

文章暂时讲完后，随着以后更深入的了解，我会把资料继续完善，供大家一起学习探讨。(我的博客—Tanky Woo的程序人生：www.wutianqi.com ，大家帮我支持下博客吧，如果大家有问题或者资料里的内容有错误，可以留言给出，谢谢您的支持。)

Tanky Woo

原创文章，转载请注明出处：http://www.wutianqi.com/?p=596

原文下载地址：
http://download.csdn.net/source/2591324

MiYu 2010-08-05 12:52 发表评论

HDOJ HDU 1709 The Balance ACM 1709 IN HDU

MiYu — Wed, 04 Aug 2010 03:36:00 GMT

//MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋

题目地址 :
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1709
题目大意 :
母函数的题目, 听说也可以用DP 做, DP没学好, 所以不是很明白.
题目的意思就是: 给你N个砝码, 以及每个砝码的重量, 当然,每个
砝码只有一个, 这是关键!! 我没理解好题目,就YM在这里了........
然后问用这几个砝码不能称出的重量有几种,并输出他们. 当然,
因为是天平,所以2边都可以放!

代码如下 :

//MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋

#include <iostream>
int wei[101];
int num1[10005];
int num2[10005];
int sum;
int main ()
{
    int N;
    while ( scanf ( "%d",&N ) != EOF )
    {
           sum = 0;
           for ( int i = 1; i <= N; ++ i )
           {
                 scanf ( "%d",&wei[i] );
                 sum += wei[i];
           }
           for ( int i = 0; i <= sum; ++ i )
           {
                num1[i] = 0;
                num2[i] = 0;
           }
           num1[0] = 1;
           for ( int i = 1; i <= N; ++ i )
           {
                 for ( int j = 0; j + wei[i] <= sum; ++ j )
                 {
                       if ( num1[j] == 1 )    //判断砝码总重量 J 是否出现过
                       {
                            num2[j] = 1;
                            num2[ j + wei[i] ] = 1;
                            num2[ abs( j - wei[i] ) ] = 1;
                       }
                 }
                 if ( i + 1 > N )
                 {
                      break;
                 }
                 for ( int j = 0; j <= sum; ++ j )
                 {
                       num1[j] = num2[j];
                       num2[j] = 0;
                 }
           }
           int nCount = 0;
           for ( int i = 1; i <= sum; ++ i )
           {
                 if ( num2[i] == 0 )
                 {
                      num1[nCount ++] = i;
                 }
           }
           if ( nCount == 0 )
           {
                printf ( "0\n" );
           }
           else
           {
                printf ( "%d\n",nCount );
                for ( int i = 0; i != nCount; ++ i )
                {
                      if ( !i )
                      {
                           printf ( "%d",num1[i] );
                      }
                      else
                      {
                           printf ( " %d",num1[i] );
                      }
                }
                putchar ( '\n' );
           }
    }
    return 0;
}

MiYu 2010-08-04 11:36 发表评论

HDOJ HDU 2069 Coin Change ACM 2069 IN HDU ..WA 真的成为习惯了...................

MiYu — Tue, 03 Aug 2010 14:49:00 GMT

//MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋

题目地址 :
            http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2069

目前每日平均WA次数 20次以上...................................
晚上做一道水题 HDOJ 2069 ACM IN HDU, 又跟上次的 TLE 的 -1 一样, 题目的最后一段是文件结束的说明,
都没怎么自习去看, 结果直接就WA了.............最后在元帅的提醒下, 原来这题真的很水,就跟刚学编程时做的
100钱买小鸡,公鸡,母鸡 100只一样, 是可以直接暴力的, 因为数据不大. 当然,也可以用母函数来做, 不过需要
增开辅助空间 :
                 c1[i][j] 表示i分钱由j个硬币组成的方案数 , 然后在循环中增加一个循环 :用于保存在当前硬币数量k上增加
                  1 - n 个硬币时 ( k + n < =100 )   方案数
暴力代码:

//MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋

1 #include <iostream>
2 int main()
3 {
4     int n, d[251] = { 0 };
5     int c1, c5, c10, c25, c50;
6     for ( n = 0; n != 251; n ++ )
7     {
8          for ( c50 = 0; c50 * 50 <= n; c50 ++ )
9          {
10                for ( c25 = 0; c50 * 50 + c25 * 25 <= n; c25++ )
11                {
12                     for ( c10 = 0; c50 * 50 + c25 * 25 + c10 * 10 <= n; c10++ )
13                     {
14                          for ( c5 = 0; c50 * 50 + c25 * 25 + c10 * 10 + c5 * 5 <= n; c5++ )
15                          {
16                               c1 = n - ( c50 * 50 + c25 * 25 + c10 * 10 + c5 * 5 );
17                               if ( c1 + c5 + c10 + c25 + c50 <= 100 )
18                               {
19                                    d[n]++;
20                               }
21                          }
22                     }
23                }
24          }
25     }
26     while ( ~scanf("%d", &n) )
27     {
28          printf ( "%d\n", d[n] );
29     }
30     return 0;
31 }
32

母函数代码 :

1 #include
2 using namespace std;
3 int c1[251][101];
4 int c2[251][101];
5 int mon[6] = { 0, 1, 5, 10, 25, 50 };
6 int sum[251];
7 int main ()
8 {
9            c1[0][0] = 1;
10            for ( int i = 1; i <= 5; ++ i )
11            {
12                  for ( int j = 0; j <= 250; ++ j )
13                  {
14                        for ( int k = 0; k * mon[i] + j <= 250; ++ k )
15                        {
16                              for ( int p = 0; p + k <= 100; ++ p )
17                              {
18                                    c2[ j + k * mon[i] ][p + k] += c1[j][p];
19                              }
20                        }
21                  }
22                  for ( int j = 0; j != 251; ++ j )
23                  {
24                       for ( int k = 0; k != 101; ++ k )
25                       {
26                             c1[j][k] = c2[j][k];
27                             c2[j][k] = 0;
28                       }
29                  }
30            }
31            for ( int j = 0; j != 251; ++ j )
32            {
33                 for ( int i = 0; i != 101; ++ i )
34                 {
35                       sum[j] += c1[j][i] ;
36                 }
37            }
38            int N;
39            while ( cin >> N )
40            {
41
42                   cout << sum[N] << endl;
43            }
44            return 0;
45 }
46

MiYu 2010-08-03 22:49 发表评论