说明：第7行的DFS(u)过程，当存在从u开始的M可增广路，则返回true，并完成M的扩展，此时|M|加一。如果返回false，则表示不存在M可增广路。 
      示例：POJ 1274 解题报告。
三、最优匹配（KM算法）
      描述：
      （1）从任意可行顶标l开始，确定l等子图Gl，并且在Gl中选取匹配M。若M饱和V1，则M是完美匹配，也即M是最优匹配，算法终止；
      （2）否则，运用匈牙利算法，终止于S属于V1，T属于V2且使对于Gl，N(S)=T。令al=min{l(x)+l(y)-w(x, y) | x∈S, y∈V2-T}，令l'(u)=l(u)-al如果u∈S；l'(u)=l(u)+al如果u∈T；l'(u)=l(u)，其它。用l'代替l，用Gl'代替Gl转入（1）。
      实现：

流网络：G=(V, E)是一个有向图，其中每条边(u, v)∈E均有一个非负容量c(u, v) ≤0，否则c(u, v)为0.流网络中有两个特别的顶点：源点s和汇点t。对于每个顶点v∈V，都存在一条路径s…v…t。

流：G上的一个实值函数(V×V→R)，满足1)对于任意u, v∈V，f(u, v)≤c(u, v)；2)对于任意u, v∈V，f(u, v)=-f(u, v)；3)对于任意u∈V-{s, t}，∑f(u, i)=0。定义流|f|=∑f(s, i)。

残留网络：给定流网络和一个流，其残留网络由可以容纳更多网络流的边组成。定义残留容量cf(u, v)=c(u, v)-f(u, v)。残留网络Gf=(V,Ef),其中Ef={(u, v)∈V×V:cf(u, v)>0}。

增广路径：增光路径p为残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。

流网络的割：流网络的割(S, T)将V划分为S和T=V-S两部分，使得s∈S，t∈T。穿过割的净流定义为f(S, T)，且有f(S, T)=|f|。割的容量为c(u, v)。一个网络的最小割就是网络中所有割中流量最小的割。

最大流最小割定理：以下三个条件等价：1)f是G的一个最大流；2)残留网络Gf不包含增广路径；3)对G的某个割(S, T)，有|f|=c(S, T)。

前置流：是一个函数f：V×V→R，它满足1)对于任意u, v∈V，f(u, v)≤c(u, v)；2)对于任意u, v∈V，f(u, v)=-f(u, v)；3)对于任意u∈V-{s, t}，f[V, u]≥0。定义余流e[u]=f[V, u]，对于u∈V-{s, t}，当e[u]>0时，称顶点u溢出。

高度函数：函数h：V→N满足h[s]=|V|，h[t]=0，且对每条残留边(u, v)∈Ef，有h[u]≤h[v]+1。

容许边：如果cf(u, v)>0且h[u]=h[v]+1，则称(u, v)是容许边。否则，(u, v)是非容许边。容许网络为Gf,h=(V, Ef,h)，其中Ef,h为容许边的集合。根据容许边有关高度的定义，易知，容许网络不存在回路。
  
二、     Ford-Fulkerson方法

1） 基本的Ford-Fulkerson算法
      描述：

     分析：Ford-Fulkerson过程的效率取决于如何确定增广路径。如果选择不好，对于非有理的容量，算法有可能不能终止。如果容量是整数（如果容量不是整数，可以乘以特定的因子转化为整数）。这时，第2~4行运行时间为O(E),第5~9行，while循环至多执行|f*|，这是因为在每次迭代后，流值至少增加1。故算法效率为O(E|f*|)。当最大流f*较小时，这个算法的效率还是不错的。

2）Edmonds-Karp算法

     描述：将基本的Ford-Fulkerson算法的第5行中用广度优先搜索来实现增广路p的计算，即增广路径是残留网络中从s到t的最短路径(其中每条边为单位距离或权)，则能够改进Ford-Fulkerson算法的界。
     分析：随着算法的运行，对于所有顶点v∈V-{s, t}，残留网络Gf中的最短路径长度δf(s, v)随着每个流的增加而单调递增。直观看来，每次增加流的操作都将使得当前最短路中的一条边(即关键边，cf(a, b)=cf(p))从p中消失，从而使得新生成的Gf中的最短路径的长度增加。同时，任意边(u, v)至多能成为|V|/2-1次成为关键边。这是因为第i次成为关键边时有δf(s, v)=δf(s, u)+1，而第i+1次时f[u, v]只可能与上次异号，则有δf'(s, u)=δf'(s, v)+1，且有δf'(s, v)≥δf(s, v)，则δf'(s, u)=δf'(s, v)+1)≥δf(s, v)+1=δf(s, u)+2。故(u, v)每次成为关键边都将使得δf(s, u)增加2，有由于δf(s, u)最大值为|V|-2，则任意边(u, v)至多能成为|V|/2-1次成为关键边。故该算法的时间复杂性为O(VE²)。
      示例：POJ 1273 解题报告

三、     Push-Relabel算法
      描述：

      正确性：用循环不变式来说明
      1）初始化：INITILIZATION-FREFLOW初始化f为前置流
      2）保持：算法中只使用了push与relabel操作，relabel操作只影响高度，不影响f；而push(u, v)操作，只会增加点v的流入量即f(V, v)，
所以如果操作以前是前置流，操作后还是前置流
      3）终止：在终止时，V-{s, t}中的每个顶点的余流必为0（如果存在不为0的点，则必可以进行push或relabel操作），且最终得到的是一个前置流，故最终得到的是一个流。又在最终的残留网络中，不存在s到t的路径（否则，如存在一条路径s,v1,...,t，则s可以向压入流，使得v1溢出），根据最大流最小割定理，f是最大流。
      分析：首先，证明对于任意溢出点u，均存在一条在Gf上的u到s的路，设U={v|在Gf存在一条s到v的路径}，设U#=V-U，假设s不属于U，对于顶点对(v, w)，v属于U，w属于U#，有f(v,  w)≤0，否则，如果f(v, w)>0，则有cf(v, w)=c(v, w)-f(v, w)=c(v, w)+f(w, v)>0，这与w不属于U矛盾！e[u] =f(V, U)=F(U, U)+f(U#, U)=F(U#, U)≤0，而对于v∈V-{s}，e[v]≥0，又e[u]>0，则U中必有s，矛盾！
      relabel操作：对于源点与会点，不存在relabel操作，而对于其它顶点u，初始时，h[u]=0≤2|V|-1，当u进行relabel时，u溢出，则Gf中必存在一条u到s的路径p=<u=v0,v1,...,vk=s>，由高度函数的定义(u, v)∈Ef，有h[u]≤h[v]+1，则h[u]=h[v0]≤h[vk]+k≤h[s]+|V|-1=2|V|-1，算法中总共的relabel操作次数为O(V²)。
      饱和push操作：进行操作后，(u, v)边从Ef中消失，则称该push操作为饱和push操作，进行一次(u, v)的饱和push操作必有h[u]=h[v]+1，同时，要进行下一次(u, v)的饱和push操作，必先经过一次(v, u)的饱和push操作，则两次饱和操作室h[u]增加2，又h[u]≤2|V|-1，则每个顶点至多进行|V|次饱和push操作，则总共的饱和push操作次数为O(|V||E|)。
      不饱和push操作：push操作中除去饱和push操作，剩下的就是不饱和push操作。定义一个函数g，值为所有e值大于0的顶点的高度和，故g≥0。考察三种操作对g值的影响：1）relabel操作不会改变溢出性且只会改变一个点，而一个点的变化至多为2|V|-1，则g至多增加2|V|-1；2）饱和push操作可能能增加一个溢出点，g至多增加2|V|-1；3）不饱和push(u, v)操作会使u变为不溢出，而在v从不溢出到溢出时，减小的最少，为1（因为h[u]=h[v]+1)。则不饱和push操作的次数至多为O(|V|²|E|+|V|³)。
      综上，Push-Relabel算法是正确的且效率为O(V²E)。
      示例：POJ 1459 解题报告

一、 单个点到图中各个点的距离

二、 图中任意两个点之间的距离

Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，还可以解决存在负权边的问题（意义是什么，好好思考），而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，所以常常被众多的大学算法教科书所忽略，就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法，在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及，因此该算法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra算法。事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法，因此成为信息学奥赛选手经常讨论的话题。然而，限于资料匮乏，有关Bellman-Ford算法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如：该算法值得掌握么？怎样用编程语言具体实现？有哪些优化？与SPFA算法有关系么？本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。给出几种实现程序，从理论和实测两方面分析他们的时间复杂度，供大家在备战省选和后续的noi时参考。

Bellman-Ford算法思想

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：

（1）    初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

（2）    迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

（3）    检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //图G ，边集 函数 w ，s为源点

1        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1阶段

2            d[v] ←+∞

3        d[s] ←0;                             //1阶段结束

4        for i=1 to |v|-1 do               //2阶段开始，双重循环。

5           for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。

6              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断

7                 d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作   2阶段结束

8        for each edge（u,v） ∈E(G) do

9            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then

10            Exit false

11    Exit true

下面给出描述性证明：

   首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

   其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1 遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

例如对于上图，边上方框中的数字代表权值，顶点A,B,C之间存在负权回路。S是源点，顶点中数字表示运行Bellman-Ford算法后各点的最短距离估计值。

此时d[a] 的值为1，大于d[c]+w(c,a)的值-2，由此d[a]可以松弛为-2，然后d[b]又可以松弛为-5,d[c]又可以松弛为-7.下一个周期，d[a]又可以更新为更小的值，这个过程永远不会终止。因此，在迭代求解最短路径阶段结束后，可以通过检验边集E的每条边(u,v)是否满足关系式 d[v]> d[u]+ w(u,v) 来判断是否存在负权回路。