武钢三中   吴豪

【引言】

          在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

          但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

          可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

        当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。

         因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。

【理论】

          为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。

         如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

          这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，

          或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。

         （ 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）

          同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。

          所以,当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，

           这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。  

           另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

           不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,

           因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

          接着，我们考察这两种操作下标变化的规律：

          首先看修改操作：

          已知下标i，求其父节点的下标。
           我们可以考虑对树从逻辑上转化：

          如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。

         有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。

          因而父节点下标 p=i+2^k (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)

          即 p = i + i&(i^(i-1)) 。

          接着对于求和操作：

          因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。

          即 p = i - i&(i^(i-1)) 。

         至此，我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。

         在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】

求最小幂2^k:

int Lowbit(int t)
{
     return t & ( t ^ ( t - 1 ) );
}

   求前n项和：

int Sum(int end)
{
     int sum = 0;
     while(end > 0)
     {
         sum += in[end];
         end -= Lowbit(end);
     }
     return sum;
}

对某个元素进行加法操作：

void plus(int pos , int num)
{
     while(pos <= n)
     {
           in[pos] += num;
           pos += Lowbit(pos);
     }
}

原文请见：http://hi.baidu.com/shaolove2009/blog/item/b4e1682fbd1e5b584fc22604.html

LIBCD.lib(crt0.obj) : error LNK2001: unresolved external symbol _main

解决方法:

控制台项目要使用windows子系统, 而不是console, 设置:
[Project] --> [Settings] --> 选择"Link"属性页,
在Project Options中将/subsystem:console改成/subsystem:windows.

解决方法方法恰恰相反的情况:

LIBCD.lib(wincrt0.obj) : error LNK2001: unresolved external symbol _WinMain@16

解决方法是：将project-settings-link的project options里的 /subsystem:windows
改成 /subsystem:console

此类错误的原因在于:

在新建工程时要分清Win32 Application和Win32 Console Application.它们都是工作在32位Windows环境的程序.其中Win32 Application 就是普通的常见的窗口应用程序，它们都是所谓的GUI(Graphics User Interface图形用户接口.而Win32 Console Application（win32控制台应用程序）往往是像MS-DOS窗口（XP中叫命令提示符）的样子出现,或者叫CUI(Character User Interface字符用户接口)。

我还搜到其他的类似的 几种error LNK2001错误:

1.libcmtd.lib(crt0.obj) : error LNK2001: unresolved external symbol _main
Windows项目要使用Windows子系统, 而不是Console, 可以这样设置:
[Project] --> [Settings] --> 选择"Link"属性页,
在Project Options中将/subsystem:console改成/subsystem:windows

2.程序入口设置错误, 提示:
msvcrtd.lib(crtexew.obj) : error LNK2001: unresolved external symbol _WinMain@16
通常, MFC项目的程序入口函数是WinMain, 如果编译项目的Unicode版本, 程序入口必须改为wWinMainCRTStartup, 所以需要重新设置程序入口:
[Project] --> [Settings] --> 选择"C/C++"属性页,
在Category中选择Output,
再在Entry-point symbol中填入wWinMainCRTStartup, 即可

3.线程运行时库设置错误, 提示:
nafxcwd.lib(thrdcore.obj) : error LNK2001: unresolved external symbol __beginthreadex
nafxcwd.lib(thrdcore.obj) : error LNK2001: unresolved external symbol __endthreadex
这是因为MFC要使用多线程时库, 需要更改设置:
[Project] --> [Settings] --> 选择"C/C++"属性页,
在Category中选择Code Generation,
再在Use run-time library中选择Debug Multithreaded或者multithreaded
其中,
Single-Threaded                  单线程静态链接库(release版本)
Multithreaded                    多线程静态链接库(release版本)
multithreaded DLL                多线程动态链接库(release版本)
Debug Single-Threaded            单线程静态链接库(debug版本)
Debug Multithreaded              多线程静态链接库(debug版本)
Debug Multithreaded DLL          多线程动态链接库(debug版本)
单线程: 不需要多线程调用时, 多用在DOS环境下
多线程: 可以并发运行
静态库: 直接将库与程序Link, 可以脱离MFC库运行
动态库: 需要相应的DLL动态库, 程序才能运行
release版本: 正式发布时使用
debug版本: 调试阶段使用