大整数算法之gcd(最大公约数)

陈勇 — Thu, 19 May 2011 08:18:00 GMT

欧几里德算法(Euclid)阐述了一种gcd算法。gcd(greatest common divisor)，简言之，我们想求gcd(x,y)，假设(x>y)，如果存在下式:x = q*y + r，那么则有gcd(x,y) = gcd(y,r) ，其实上式也称为gcd递归定理，即gcd(a,b) = gcd (b,a mod b)。
这个递归式看似很简单。实则它还是很值得推敲的，首先，它怎么证明？其次，该算法的运行时间为如何？
在密码学中，欧几里德算法有着相当广泛的应用，譬如求乘法逆元，大整数分解等等。。
在<<编程之美>>一书中，给出了不少gcd算法的简单实现。因为gcd算法的实现是递归，所以要特别注意栈溢出。先做个标记，以后会把栈详细分析一下。
最简单的gcd算法：

1int gcd(int x, int y)
2{
3     if(y == 0) return x;
4     if(x < y)      return gcd(y,x);
5     else        return gcd(y, x%y);
6}

ACM中常用的gcd算法：

1int gcd(int a, int b){ return a == 0 ? b : gcd(b % a, a); }

经过优化的gcd算法(分成奇偶两种情况)：

1int gcd(int x,int y )
2{
3    if(x < y) return gcd(y,x);  // x>y
4    if( y == 0) return x;  // if y=0, x is GCD
5    else
6    {
7         if( !(x%2) )
8         {
9           if( !(y%2) )  //x,y both even
10               return 2*gcd(x >> 1, y >> 1);
11           else      // x is even, y is odd
12               return gcd(x >> 1, y );
13         }
14         else
15         {
16           if( !(y%2) )  // x is  odd,  y is even
17               return gcd(x, y >> 1);
18           else       // x, y both odd
19               return gcd(y,x-y);
20         }
21    }
22}
23

陈勇 2011-05-19 16:18 发表评论

大整数算法之求阶乘

陈勇 — Thu, 19 May 2011 03:45:00 GMT

这几天闲暇时研究了一些关于大整数计算和存储的算法。关于这些方法，无非是用数组代替内置类型对大整数进行存储，然后进行适当的运算技巧进行并得到结果。下面是一个求阶乘的算法。n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2

1#include <stdio.h>
2
3unsigned long long int fac[2570]={0},low_bit,multiplicand,carry_bit = 0;
4/* 计算阶乘 m*(m-1)*(m-2)**n    */
5void factorial(int m, int n)
6{
7     carry_bit = 0;
8     multiplicand = m;
9     //分离被乘数m，a[1]放个位，a[2]放10位
10     while(multiplicand)
11     {
12         low_bit++;    //fac数组的第0位不用
13         fac[low_bit] = multiplicand%10;
14         multiplicand = multiplicand/10;
15     }
16     for (int multiplicator = m-1 ; multiplicator >= n ; --multiplicator)
17     {
18         carry_bit = 0;     //carry_bit表示进位
19         for(int j = 1 ; j <= low_bit ; ++j)
20         {
21               fac[j] = fac[j]*multiplicator + carry_bit;
22               carry_bit = fac[j] / 10;
23               fac[j] = fac[j] % 10;
24         }
25         while(carry_bit)
26         {
27                 low_bit++;
28                 fac[low_bit] = carry_bit % 10;
29                 carry_bit=carry_bit / 10;
30         }
31     }
32
33}
34
35int main()
36{
37    factorial(40,2);
38    for(int index = low_bit ; index>=1 ; index--)
39    {
40            printf("%d",fac[index]);
41    }
42    getchar();
43    return 0;
44}
45

结果为：815915283247897734345611269596115894272000000000

前一阵子研究python时，对它的长整数那块颇感兴趣，因为在python中是有“无限精度”的整数一说的，有空要拿它的源码来学习一下。

陈勇 2011-05-19 11:45 发表评论

C++博客-CodePanada-随笔分类-算法

大整数算法之gcd(最大公约数)

大整数算法之求阶乘