一、乘法原理

乘法原理讨论分阶段办事过程中的计数问题.

用集合论观点解释：
把分阶段进行的事情看作一种多重选取过程，每一个过程都是自某个集合挑选一个元素，然后考虑有多少种不同的挑选方式.

【应用】数的整除，因数分解问题

【例3】2160的正约数个数.
2160 = 2^4 * 3^3 * 5^1
则任意约数形式为2^i * 3^j * 5 ^k (0<=i<=4, 0<=j<=3, 0<=k<=1)
所以约束个数为(4+1)(3+1)(1+1)=32.

【例5】从题目中抽象出模型.

【例6】 一个结论：[u,v]=n, 令n的因子r的个数为n(r)，有k个因子.
则符合要求的数对个数为 (2n(r)+1)*..*(2n(r)+1).
需要注意的是最大公约数，是去两数某因子的最大值.

【例7】补集思想.(排除法)
在整除性问题中，确定前n-1位，然后分类讨论第n位的情况.

【例8】看了，未懂.

二、重复排列

【定义】如果在同一个n阶集合(有n个元素)中依次进行k次选取，而且选过的元素还可以再选，则一共有n^k中不同的选取方式(即重复排列方式).

【应用】空间解析几何、集合子集性质的讨论

【例5】立方体{(x,y,z):0<=x,y,z<=a}顶点坐标.

证 显然每个顶点(x,y,z)的三个坐标都是集合{0,a}的元素，所以共有2^3个不同的顶点.坐标略.

【例6】在三维欧氏空间给出9个格点(坐标值为整数)，求证其中必有两点中点坐标为格点.

证 若两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)的中点为格点，必有x1和x2，y1和y2，z1和z2和为偶数，即两者奇偶性相同.
考虑考虑欧氏空间格点奇偶性情况可知，每个坐标值都是{奇数，偶数}中一个元素，所以格点有8种不同的奇偶性.从而，原命题由抽屉原理可证.